Определение метрики во многом соответствует нашему представлению о "расстоянии", что придаёт актуальности данной статье. И хотя интуитивно мы знакомы с этим понятием, но, как это всегда и бывает, математика рада убедить нас в обратном.
Метрика - это понятие с которым мы встречаемся прежде всего в геометрии, обозначается обычно, как d(x, y). d(x, y) - это функция, ставящая в соответствие двум элементам множества вещественное неотрицательное число. Она и выступает в качестве определяющей характеристики описываемого пространства(множества). Такое пространство (множество), в котором можно ввести метрику, называется метрическим пространством.
Аксиоматически метрику описал ещё Морис Фреше в далёком 1906 году. И вот, как выглядят придуманные им аксиомы:
- Невырожденность: значение d(x, y) неотрицательно и d(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y.
- Симметричность: d(x, y) = d(y, x) .
- Неравенство треугольника: d(x, y) не превосходит d(x, z) + d(z, y).
Теперь Хочется перейти к примерам.
Пример 1:
"Глупый, но рабочий" (сверьтесь с аксиомами) M - любое множество,
d(x, y) = 1, если x не равно y.
Пример 2:
Для вещественной прямой d(x, y) =| x - y | также будет метрикой в соответствии с аксиомами.
Следующий пример будет поинтереснее, но для этого я введу ещё одно понятие - "Шар".
Обратите внимание: Каким бывает ядерное оружие - какова суть начинки.
будем называть замкнутым шаром радиуса r с центром в x множество B(x) точек y, если d(x, y) не превосходит r .Пример 3:
Рассмотрим функцию d(A(x, y), B(x1, y1)) = max (|x - x1|, |y - y1| ), где A и B точки на плоскости. (Легко доказать, что такая функция является метрикой, сразу видно, что она неотрицательна и симметрична, а из выполнения неравенства треугольника на вещественной прямой выводится выполнимость неравенства для данной функции)
Интересно взглянуть на шар с центром в нуле задаваемый такими условиями.
И так наш "шар" оказывается областью, ограниченной квадратом. Теперь я надеюсь ваше представление о шарах несколько расширится.
Пример 4:
Данный пример будет схож с предыдущим. теперь d(A(x, y), B(x1, y1)) будет задаваться, как |x - x1| + |y - y1|.
И тогда наш "шар" будет ограничен ромбом.
На этих прекрасных "шарах" я хочу закончить знакомство с метрикой и метрическим пространством. Она ещё встретится нам в следующих статьях по данной теме.
P.S. : Надеюсь статья оказалась для вас интересной, буду рад любым комментариям с советами по написанию и оформлению.
Больше интересных статей здесь: Новости науки и техники.
Источник статьи: Какова твоя Метрика?.