1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12

Подпишись на нас:

1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12

Посмотрев на бесконечную сумму всех натуральных чисел, можно предположить, что их сумма и будет равняться бесконечности. И это вполне логичное предположение, однако правильный ответ рушит все ожидания и может показаться каким-то математическим трюком. Сумма всех натуральных чисел, на удивление, равна -1/12 и это решение имеет практическое применение во многих областях физики, в том числе в теории струн.

Чтобы доказать, что сумма натуральных чисел равна -1/12, мы не будем использовать сложные вычисления и различные функции. Для начала мы рассмотрим несколько разных бесконечных сумм:

S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...
S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + ...
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ...

Бесконечная сумма S1 называется рядом Гранди и ее сумму можно посчитать, например, при помощи расстановки скобок:

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0
или
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1 - 0 - 0 - 0 - ... = 1

Но какое из этих двух решений является верным? В действительности, чтобы получить правильный ответ, нужно взять эти два решения и найти их среднее значение, которое будет равняться 1/2. Такое решение можно также получить при попытке найти чему будет равняться 1-S1:

1 - S1 = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ... ) = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = S1;
1 - S1 = S1;
S1 = 1/2.

О том, почему именно решение S1 = 1/2 является верным, читайте в нашей статье.

Зная чему равняется S1, мы можем посчитать чему равняются все остальные суммы. Чтобы узнать чему равняется S2, посчитаем чему будет равняться 2*S2 (S2+S2). Для этого мы сдвинем одну сумму относительно другой на один элемент и произведем сложение:

2 * S2 = 1 + (-2 + 1) + (3 - 2) + (-4 + 3) + (5 - 4) + ... = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... = S1;
2 * S2 = S1 = 1/2;
S2 = 1/4.

Теперь у нас имеется все, чтобы посчитать сумму всех натуральных чисел, которую мы обозначили буквой S. Для этого посмотрим чему будет равна разность S-S2:

S - S2 = (1 - 1) + (2 - (-2)) + (3 - 3) + (4 - (-4)) + (5 - 5) + ... = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + ... = 4 + 8 + 12 + 16 + ... = 4 * (1 + 2 + 3 + 4 + ... ) = 4 * S

Поскольку S2 = 1/4, то получим:

S - 1/4 = 4 * S;
S = -1/12.

1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12


Следующее: Сэндвич для реактора: создаем атомные электростанции нового поколения

Предыдущее: Астероид Асклепий мог уничтожить Землю





Поделиться!