1 - 1 + 1 - 1 + ... = ?

1 - 1 + 1 - 1 + ... = ?

Иногда интуиция может нам сказать, что ответ на какой-то вопрос очевиден и прост. Однако, рассмотрев рассуждения и выводы, ответ может нас крайне удивить. В математике, зачастую, подобные контринтуитивные ответы мы можем обнаружить, когда речь заходит о бесконечностях.

Предположим, что у нас имеется следующая бесконечная сумма:

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Хоть сложение и вычитание являются равносильными действиями, в данном случае расстановка скобок может помочь нам в подсчетах. Расставим скобки определенным образом и посмотрим, что мы получим в ответе:

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0

Теперь же посмотрим какой ответ мы получим, если расставим скобки иным образом:

1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1 - 0 - 0 - 0 - ... = 1

Казалось бы, в выражении, где есть только сложение, расстановка скобок не должна была как-то повлиять на ответ, но вместо этого мы получили два разных решения. Каким образом определить какой ответ является верным? Или они оба верны? Для этого мы пойдем немного другим путем и обозначим нашу бесконечную сумму равной S. И теперь посмотрим чему будет равняться 1-S:

1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ... ) = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = S;
1 - S = S;
S = 1/2.

Мы получили странный ответ, где бесконечно суммируя 1 и -1 мы имеем в ответе 1/2. Таким образом мы получили три разных ответа: 0, 1 и 1/2.

Данная бесконечная сумма называется рядом Гранди в честь итальянского математика Луиджи Гвидо Гранди, жившего в XVII веке. Ему удалось получить эти три ответа. Данная задача являлась поводом для споров еще долгое время вплоть до XIX века. Многие математики считают, что лучшим и правильным ответом является именно 1/2 и вот почему.

1 - 1 + 1 - 1 + ... = ?
Луиджи Гвидо Гранди — итальянский монах, священник, философ, математик, и инженер.

Рассмотрим следующую бесконечную сумму:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2

Теперь рассмотрим сумму первых двух, трех, четырех и так далее элементов:

1 + 1/2 = 3/2 = 1.5;
1 + 1/2 + 1/4 = 7/4 = 1.75;
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 15/8 = 1.875;
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 31/16 = 1.9375;
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 = 63/32 = 1.96875;
...

Можно заметить, что мы все сильнее и сильнее подходим к числу 2. В действительности эта бесконечная сумма и будет равняться двум. То есть мы можем переписать наши действия в виде последовательности, где мы постепенно будет приближаться к ответу:

1; 1.5; 1.75; 1.875; 1.9375; 1.96875; ... ; 2 - 1/n; 2.

А что, если мы попробуем применить данный метод к нашему ряду Гранди? Мы получим следующее:

1; 0; 1; 0; 1; 0; ...

В данном случае мы ни насколько не приближаемся к ответу. Этот метод не работает, поэтому мы используем другой. Для этого сначала рассмотрим как этот метод работает на бесконечной сумме (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...). Возьмем числа, полученные при суммировании первых элементов и будем находить их среднее значение:

1; (1 + 3/2)/2 = 5/4; (1 + 3/2 + 7/4)/3 = 17/12; ... ; 2.

Здесь также можно заметить, что, используя данный алгоритм, мы снова приходим к числу 2. Теперь можно применить это и к ряду Гранди:

1; (1 + 0)/2 = 1/2; (1 + 0 + 1)/3 = 2/3; (1 + 0 + 1 + 0)/4 = 1/2; (1 + 0 + 1 + 0 + 1)/5 = 3/5; 1/2; 4/7; ... ; 1/2; 1/2.

Мы видим, что среднее четного количества членов всегда получается равным 1/2, а среднее нечетного количества членов с увеличением своего числа стремится к 1/2. То есть высчитав среднее из бесконечного нечетного числа членов мы как раз получим наш ответ 1/2.

Чтобы лучше понять и осознать истинность этого результата, рассмотрим парадокс лампы Томпсона. Нам дается минута времени. Спустя 30 секунд зажигаем лампу. Затем по прошествии одной четвертой минуты выключаем. Еще через одну восьмую минуты мы включаем ее снова. Таким образом мы продолжаем включать и выключать лампу, пока не закончится минута. Вопрос заключается в том, будет ли лампа включена или выключена по окончании времени? Ряд Гранди как раз является показателем состояния лампы, где 1 это состояние включенной лампы, а 0 — выключенной. По истечению одной минуты мы совершим бесконечное количество переключений и поэтому застрянем в неком неопределенном равноценном включению и выключению положении, которое и обозначено цифрой 1/2.


Следующее: Количество рыбы в океанах стремительно сокращается

Предыдущее: Могут ли существовать белые дыры в нашей Вселенной?



Поделиться!