Исследователь из Университета Нового Южного Уэльса в Сиднее совершил исторический прорыв, решив математическую задачу, которая веками считалась неразрешимой. Речь идет о полиномиальных уравнениях высшего порядка — одной из старейших и самых сложных проблем в алгебре.
До сих пор попытки найти общее решение для таких уравнений, где переменная возводится в пятую степень и выше, терпели неудачу. Это ограничивало развитие целых разделов математики. Новый метод, разработанный австралийскими учеными, не только решает эту проблему, но и открывает путь к переосмыслению фундаментальных алгебраических принципов.
«Наше решение вновь открывает книгу, которая долгое время считалась закрытой в истории математики», — заявил руководитель исследования, почетный профессор UNSW Норман Уайлдбергер.
Ключ к решению: отказ от иррациональности
Сложность уравнений высших порядков исторически заключалась в традиционном подходе, который требовал использования радикалов (корней). Как объясняет университет, эти радикалы часто представляют собой иррациональные числа, такие как π, которые имеют бесконечные неповторяющиеся десятичные дроби. С вычислительной точки зрения работа с ними для решения сложных полиномов практически неосуществима — это потребовало бы «бесконечного объема работы и жесткого диска размером больше Вселенной», по образному выражению профессора Уайлдбергера.
Интересно, что сам профессор является сторонником так называемой рациональной тригонометрии и не признает иррациональные числа как фундаментальную сущность. Именно этот скептический взгляд позволил ему найти альтернативный путь. Вместо радикалов его метод использует степенные ряды — бесконечные суммы, выраженные через переменную x. Этот подход позволяет обойти проблему иррациональности и получить точные алгебраические решения.
Чтобы доказать работоспособность своего метода, Уайлдбергер применил его к знаменитому кубическому уравнению, которое использовал математик Джон Валлис в XVII веке для демонстрации метода Ньютона. Новый подход дал точный приближенный ответ, подтвердив свою валидность на задаче, не решавшейся столетиями.
«Наше решение очень эффективно», — подчеркнул профессор.
Комбинаторика как новый язык алгебры
Новаторство метода заключается в его междисциплинарности. Хотя задача является чисто алгебраической, решение пришло из области комбинаторики — раздела математики, изучающего комбинации и последовательности. Ключевую роль сыграли так называемые каталанские числа, которые описывают, например, количество способов разрезания многоугольника.
«Каталанские числа тесно связаны с квадратными уравнениями, — пояснил Уайлдбергер. — Наше открытие в том, что для решения уравнений высших порядков нам потребовались их многомерные аналоги».
Ученые расширили концепцию каталанских чисел, создав многомерные числовые массивы. Эти новые структуры, названные «Geode», и стали ключом к решению уравнений, которые раньше считались недоступными для анализа. «Мы открыли эти расширения и показали, как они логически ведут к общим решениям полиномиальных уравнений. Это полная переработка главы об основах алгебры», — заявил исследователь.
Практическое значение и будущее открытия
Помимо теоретической значимости, новый метод имеет огромный практический потенциал. Он может лечь в основу компьютерных алгоритмов для решения сложных полиномиальных уравнений, которые широко используются в прикладной математике, физике, инженерии и криптографии.
«Этот тип вычислений лежит в основе многих областей, поэтому есть возможность улучшить алгоритмы в самых разных сферах», — отметил Уайлдбергер.
В исследовании, соавтором которого выступил специалист по компьютерным наукам доктор Дин Рубин, массив Geode представлен как инструмент с «огромным потенциалом» для будущих изысканий. Ученые ожидают, что его изучение оживит комбинаторную математику и откроет новые направления для исследований.
«На самом деле, возможностей много. Это только начало», — заключил профессор Уайлдбергер, намекая на то, что его открытие может стать отправной точкой для новой волны математических инноваций.
Обратите внимание: Быстрая и прочная связь между мозгом и кишечником может привести к возникновению нового «шестого чувства».
Больше интересных статей здесь: Новости науки и техники.
Источник статьи: Математик Сиднейского университета Нового Южного Уэльса (UNSW) впервые успешно решил «невозможное» уравнение, которое когда-то считалось неразрешимым.