Понятие метрики тесно связано с нашей интуитивной идеей о «расстоянии», что делает эту тему фундаментальной и практически значимой. Хотя мы часто используем расстояние в повседневной жизни, математика предлагает строгое и формальное определение, которое иногда может удивлять.
Суть метрики и метрического пространства
В основе геометрии и анализа лежит понятие метрики, обычно обозначаемой как d(x, y). По сути, это функция, которая каждой паре элементов (x, y) из некоторого множества ставит в соответствие неотрицательное вещественное число. Это число и интерпретируется как расстояние между ними. Именно метрика определяет ключевые свойства пространства. Любое множество, на котором можно корректно задать такую функцию расстояния, называется метрическим пространством.
Аксиомы расстояния
Строгое аксиоматическое описание метрики было дано математиком Морисом Фреше ещё в 1906 году. Эти три правила, которым должно удовлетворять любое расстояние, выглядят так:
- Невырожденность и тождество: Расстояние d(x, y) всегда больше или равно нулю. При этом d(x, y) = 0 только в том случае, если элементы x и y совпадают.
- Симметричность: Расстояние от x до y всегда равно расстоянию от y до x: d(x, y) = d(y, x).
- Неравенство треугольника: Путь из точки x в точку y никогда не длиннее, чем путь с промежуточной остановкой в z: d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Примеры метрик
Чтобы лучше понять абстрактное определение, рассмотрим несколько конкретных примеров.
Пример 1: Дискретная метрика
Возьмём любое множество M. Зададим метрику так: d(x, y) = 1, если x ≠ y, и d(x, x) = 0. Это «глупый, но рабочий» пример, который, однако, полностью удовлетворяет всем трём аксиомам Фреше.
Пример 2: Стандартная метрика на прямой
На множестве вещественных чисел ℝ классическим расстоянием является модуль разности: d(x, y) = |x - y|. Это самый привычный и интуитивный пример метрики.
Пример 3 и 4: Метрики на плоскости и понятие «шара»
Для более интересных примеров введём важное понятие — замкнутый шар. Шаром радиуса r с центром в точке x называется множество всех точек y, расстояние от которых до x не превышает r: d(x, y) ≤ r.
Обратите внимание: Каким бывает ядерное оружие - какова суть начинки.
Пример 3: Чебышёвская метрика
Рассмотрим плоскость. Зададим расстояние между точками A(x, y) и B(x1, y1) как максимум из модулей разностей их координат: d(A, B) = max(|x - x1|, |y - y1|). Эта функция также является метрикой. Интересно, что «шар» в такой метрике (например, с центром в нуле) оказывается не кругом, а квадратом!
Пример 4: Манхэттенская метрика
Другой пример на плоскости — расстояние, задаваемое суммой модулей разностей координат: d(A, B) = |x - x1| + |y - y1|. Оно моделирует путь по городским кварталам, как в районе Манхэттен. «Шар» в этой метрике приобретает форму ромба (или квадрата, повёрнутого на 45 градусов).
Эти геометрические примеры наглядно показывают, что понятие «шара» в математике гораздо шире нашего бытового представления о сфере. На этом мы завершаем вводное знакомство с метрикой и метрическими пространствами. Эта концепция будет ключевой в последующих статьях на данную тему.
P.S. : Надеюсь, статья оказалась для вас интересной и полезной. Буду рад услышать ваше мнение, комментарии и советы по улучшению материала.
Больше интересных статей здесь: Новости науки и техники.
Источник статьи: Какова твоя Метрика?.