Эта статья представляет собой перевод оригинального научно-популярного текста. Автор перевода отмечает, что, несмотря на прогресс в области искусственного интеллекта, качественный перевод сложных научных материалов по-прежнему требует человеческого участия. Статья затрагивает глубокие философские вопросы, связанные не только с работами Гильберта и Гёделя, но и с идеями интуиционизма Брауэра, что открывает пространство для дискуссии.
Две группы математиков, работая над обобщением знаменитой десятой проблемы Гильберта, существенно расширили наши представления о границах математического знания, выявив новые области неразрешимых задач.
Математика, как выясняется, изобилует проблемами, которые в принципе не могут быть решены. К этому списку теперь добавилась еще одна.
В 1900 году выдающийся математик Давид Гильберт сформулировал список из 23 ключевых проблем, которые должны были задать вектор развития математики на целое столетие. За этим стояла более грандиозная мечта Гильберта — построить непротиворечивый и полный фундамент для всей математики, из которого можно было бы логически вывести любую истину. Краеугольным камнем этого плана была идея полноты: считалось, что для любого математического утверждения можно строго доказать либо его истинность, либо ложность.
Однако в 1930-х годах Курт Гёдель нанес сокрушительный удар по этой мечте, доказав свои знаменитые теоремы о неполноте. Он показал, что в любой достаточно сложной аксиоматической системе всегда найдутся утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть средствами самой системы. Позже Алан Тьюринг и другие ученые развили эти идеи, продемонстрировав существование алгоритмически неразрешимых проблем — задач, для которых не может существовать универсальной вычислительной процедуры.
Эти открытия установили фундаментальные пределы для математического познания, указав на то, что некоторые истины навсегда останутся за границами человеческого знания, независимо от мощности вычислительных средств.
Мечта Гильберта о полной математике рухнула, но ее отголоски продолжали жить в конкретных проблемах, таких как его десятая задача. Она касается диофантовых уравнений — полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами, например, x² + y² = 5. Математики веками искали их целочисленные решения. Гильберт спрашивал: существует ли универсальный алгоритм, который для любого заданного диофантова уравнения мог бы определить, имеет ли оно хотя бы одно целочисленное решение?
Список из 23 проблем, сформулированных Давидом Гильбертом в 1900 году, до сих пор оказывает влияние на развитие математики.
Для некоторых уравнений, как x² + y² = 3, целочисленных решений не существует. Десятая проблема стала своего рода микрокосмом первоначальной гильбертовой мечты о полноте. «Эта проблема — естественная версия этой мечты», — отмечает Питер Коойманс из Утрехтского университета.
В 1970 году советский математик Юрий Матиясевич, завершив работу других ученых, окончательно доказал, что такого общего алгоритма не существует — десятая проблема Гильберта алгоритмически неразрешима. Это означало, что даже в, казалось бы, простой области диофантовых уравнений существуют принципиально непознаваемые истины.
Математик Юрий Матиясевич, доказавший неразрешимость десятой проблемы Гильберта. Фото 1969 года.
Этот результат породил новый вопрос: где проходит граница между разрешимым и неразрешимым? Если расширить область поиска решений с целых чисел на более сложные числовые системы, например, на комплексные числа, то ответ для диофантовых уравнений становится тривиальным (решения всегда существуют). Но что произойдет, если рассматривать решения в так называемых кольцах целых чисел — системах чисел, построенных на основе не только обычных целых, но и, например, квадратного корня из 2 или мнимой единицы i?
«Для целых чисел проблема неразрешима, а когда вы переходите к более сложным числовым системам, вы внезапно получаете разрешимость, — говорит Барри Мазур из Гарвардского университета. — Но где проходит граница?»
Поиском этой границы математики занимались полвека. И вот теперь две независимые исследовательские группы — Питер Коойманс с Карло Пагано и другая команда из четырех ученых — сделали решающий шаг. Они доказали, что для огромного класса числовых систем, а именно для любого кольца целых чисел, обобщенная десятая проблема Гильберта также остается неразрешимой. Это не только уточняет карту математического познания, но и дает ученым новые мощные инструменты для работы с ключевыми объектами — диофантовыми уравнениями.
От целых чисел к их обобщениям
Новые результаты касаются расширенной формулировки десятой проблемы. Теперь вопрос ставится так: можно ли алгоритмически определить, имеет ли диофантово уравнение решение в заданном кольце целых чисел? Кольцо целых чисел — это числовая система, которая получается, если к обычным целым числам добавить некоторые алгебраические числа, например, √2 или i (мнимую единицу), и разрешить все возможные арифметические операции с ними.
Карло Пагано, Университет Конкордия, соавтор одного из доказательств.
Математики давно подозревали, что и в этих расширенных системах проблема останется неразрешимой. Для доказательства они попытались повторить путь, который привел к решению исходной задачи. Ключевая идея — установить связь между диофантовыми уравнениями и проблемой остановки для машин Тьюринга, которая является классической неразрешимой задачей в теории вычислений.
В оригинальном доказательстве Юрия Матиясевича и его предшественников (включая Джулию Робинсон) было показано, что для каждой машины Тьюринга можно построить такое диофантово уравнение, что оно имеет целочисленное решение тогда и только тогда, когда эта машина останавливается. Таким образом, если бы существовал алгоритм для определения разрешимости диофантовых уравнений, с его помощью можно было бы решить и проблему остановки, что невозможно.
Джулия Робинсон сыграла ключевую роль в подготовке окончательного доказательства десятой проблемы Гильберта.
Однако при переходе к кольцам целых чисел эта изящная связь рушится. Уравнения начинают иметь «лишние» решения (например, в системе с √2 уравнение y = x² имеет решение x=√2, y=2), и они перестают точно кодировать поведение машин Тьюринга.
Преодоление препятствия
В конце 1990-х годов Александра Шляпентох и другие математики наметили стратегию решения: нужно так модифицировать диофантовы уравнения, добавив к ним специальные дополнительные члены, чтобы в расширенной числовой системе решения всё равно «вынуждали» переменные принимать целые значения. Это позволило бы восстановить связь с машинами Тьюринга. Большинство случаев удалось разобрать, но самый сложный — для колец, содержащих мнимую единицу i, — долгое время оставался открытым. Для него нужные дополнительные члены можно было задать с помощью особых объектов — эллиптических кривых.
Эллиптические кривые — красивые и сложные объекты, сыгравшие ключевую роль в доказательстве.
Построить эллиптическую кривую с требуемыми очень специфическими свойствами оказалось чрезвычайно трудной задачей. Здесь на сцену вышли эксперты по эллиптическим кривым Питер Коойманс и Карло Пагано.
Путь к решению
Коойманс размышлял над десятой проблемой со времен учебы. В 2022 году, после случайного разговора на конференции, они с Пагано решили всерьез атаковать эту задачу. Они начали с простой эллиптической кривой и с помощью сложной техники, называемой «вторичным вращением», стали подстраивать ее под нужные условия.
Питер Коойманс, математик из Утрехтского университета, соавтор прорывного доказательства.
Процесс был полон трудностей и тупиков. Решающее озарение пришло к Кооймансу бессонной ночью летом 2024 года. Он понял, что если во «вторичном вращении» использовать числа, являющиеся произведением определенных простых чисел, то можно получить необходимый контроль над свойствами кривой. После интенсивной совместной работы им удалось не только найти подходящие простые числа, но и применить методы из аддитивной комбинаторики, чтобы гарантировать работоспособность их конструкции для любого кольца целых чисел.
Математическая красота часто служит источником вдохновения для сложных доказательств.
Итогом стала построенная эллиптическая кривая, которая позволила модифицировать любое диофантово уравнение так, чтобы в любом кольце целых чисел оно кодировало проблему остановки. Это окончательно доказало неразрешимость обобщенной десятой проблемы Гильберта.
Удивительно, но менее чем через два месяца независимая группа математиков опубликовала альтернативное доказательство того же результата, используя другой тип уравнений. Это не только подтвердило открытие, но и указало на плодотворность новых методов.
Работа обеих команд — это не просто решение давней задачи. Она напоминает нам о фундаментальных пределах человеческого познания. Как отмечает Эндрю Грэнвилл из Монреальского университета, такие результаты отражают философское измерение науки. «Это напоминает нам, что есть вещи, которые находятся вне нашей досягаемости, — говорит он. — Неважно, кто ты или что ты».
Поиск границы между познаваемым и непознаваемым в математике продолжается, и десятая проблема Гильберта по-прежнему указывает путь.
Обратите внимание: Учёные разработали революционную технологию для исследования египетских мумий.
Больше интересных статей здесь: Новости науки и техники.
Источник статьи: Новые исследования о пределах математической истины и границах математического знания.