Еще в V–IV веках до нашей эры древние ученые, исследуя свойства натуральных чисел, начали объединять их в особые последовательности, которым можно было придать геометрическую интерпретацию. Так зародилась концепция фигурных чисел.
Что такое фигурные числа на практике?
Хотя формально их можно описать как «числа, представимые с помощью геометрических фигур», это определение не слишком информативно. Чтобы по-настоящему разобраться в теме, удобнее начать с арифметических прогрессий — рядов чисел, где разность между соседними членами постоянна.
Например:
1, 2, 3, 4, 5... (разность 1)
1, 3, 5, 7, 9... (разность 2)
1, 4, 7, 10, 13... (разность 3)
В общем виде: 1, 1 + d, 1 + 2d, 1 + 3d...
Элементы таких рядов называются линейными или фигурными числами первого порядка.
Как получаются треугольные, квадратные и другие числа
Если взять ряд линейных чисел и начать последовательно суммировать его элементы, мы получим новый ряд — суммы первых n членов. Именно эти суммы и являются классическими фигурными числами.
- Из ряда 1, 2, 3, 4, 5... суммированием получаем: 1, 3, 6, 10, 15... — это треугольные числа.
- Из ряда 1, 3, 5, 7, 9... получаем: 1, 4, 9, 16, 25... — это квадратные числа.
- Из ряда 1, 4, 7, 10, 13... получаем: 1, 5, 12, 22, 35... — это пятиугольные числа.
По аналогии можно построить шестиугольные, семиугольные и другие последовательности. Все они относятся к плоским фигурным числам или числам второго порядка.
Геометрическая интерпретация: почему они так называются
Названия становятся совершенно понятными, если представить себе геометрические фигуры. Возьмем равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник со стороной 1. Если мы будем увеличивать их стороны в 2, 3, 4... раза, строя подобные фигуры, и размещать точки на сторонах и в вершинах на равных расстояниях (например, единичных), то подсчет этих точек даст нам соответствующие ряды чисел.
Подсчет точек в каждом треугольнике дает ряд треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15...
Подсчет точек в каждом квадрате дает ряд квадратных чисел: 1, 4, 9, 16, 25...
Классическое определение
Древнегреческий математик Гипсикл Александрийский дал четкое и элегантное определение: если взять несколько чисел, начиная с единицы, с одинаковой разностью, то их сумма будет треугольным числом при разности 1, четырехугольным (квадратным) — при разности 2, пятиугольным — при разности 3. Количество углов определяется как (разность + 2), а длина стороны — количеством взятых чисел.
Фигурные числа вокруг нас
Эти математические конструкции не просто абстракция. Они встречаются в самых разных областях. Например, при упаковке шаров или яиц в треугольные или пирамидальные лотки их количество часто соответствует треугольным числам. Квадратные числа, очевидно, связаны с площадью квадрата, но также проявляются в планировании (расстановка столов в зале квадратами) или в информатике (оптимизация сеток).
Спасибо, что дочитали до конца! Чтобы не пропустить новые интересные материалы, подписывайтесь на канал.
Обратите внимание: Роль научно-технического прогресса в нашей жизни.
Больше интересных статей здесь: Новости науки и техники.
Источник статьи: Треугольные, квадратные и пятиугольные числа, и где они встречаются в жизни.