Эта статья является переводом. Оригинальный текст здесь. Мне очень нравится переводить научные и научно-популярные статьи, потому что, во-первых, я сам могу узнать много нового, а во-вторых, несмотря на большие успехи искусственного интеллекта за последние годы, машинный перевод научных текстов все еще оставляет желать лучшего, поэтому, по моему мнению, роботы в ближайшее время не заменят переводчиков-людей. Статья кажется мне очень интересной и имеет глубокие философские связи не только с Гильбертом и Гёделем (как написано в самой статье), но и с интуиционизмом Брауэра и его неприятием закона исключенного третьего, о чем в статье не написано. Мы можем обсудить эти моменты в комментариях, а пока: приятного чтения!
Работая над расширенной версией знаменитой десятой проблемы Гильберта, две группы математиков также расширили область математических неизвестных.
Мир математики полон неразрешимых проблем. Теперь есть еще одна такая задача.
В 1900 году известный математик Давид Гильберт опубликовал список из 23 ключевых проблем, которые определили направление математических исследований на следующее столетие. Эти вопросы не только определили направление развития науки, но и отразили более амбициозную мечту Гильберта: создать прочный фундамент, из которого можно было бы вывести все математические и, как следствие, научные истины.
Одним из важнейших условий осуществления этой мечты является так называемая полнота математики. Гильберт и его последователи считали, что необходимо доказать истинность или ложность всех математических утверждений.
В 1930-х годах Курт Гёдель показал, что это невозможно: в любой математической системе есть утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Несколько лет спустя Алан Тьюринг и другие развили его работу, показав, что математика полна «неразрешимых» утверждений, проблем, которые не могут быть решены ни одним компьютерным алгоритмом.
Эти результаты свидетельствуют о том, что существуют фундаментальные ограничения того, чего можно достичь с помощью доказательств и вычислений. Некоторые математические знания никогда не будут известны.
Мечта Гилберта была разбита. Но ее жизнь по-прежнему разрушена. Многие из проблем, перечисленных им в начале века, до сих пор воплощают эту мечту, позволяя идее полной математики выжить в более узком контексте.
главной из них является его десятая головоломка. В нем используются диофантовы уравнения: многочлены с целыми коэффициентами, например, x² + y² = 5. Эти уравнения знакомы многим и являются очень важными объектами исследований в математике. Математики искали целочисленные решения этих задач на протяжении тысяч лет. В этом примере одним из решений является x = 1, y = 2 (потому что 1² + 2² = 5). Другое решение: x = 2, y = -1.
В 1900 году Давид Гильберт сформулировал 23 проблемы, которые, как он надеялся, определят направление математических исследований на следующее столетие. Эти проблемы существуют и сегодня.
другие диофантовы уравнения, такие как x² + y² = 3, не имеют целочисленных решений. Десятая проблема Гильберта состояла в том, всегда ли можно определить, имеет ли заданное диофантово уравнение целочисленные решения. Существует ли алгоритм, который может определить это для каждого уравнения, или эта задача неразрешима? Возможно, нам не удастся найти полный и систематический метод решения всех математических задач или даже всех 23 задач Гильберта, но для диофантовых уравнений может существовать метод, который образует своего рода микрокосм его первоначального плана. «Эта проблема — естественная версия этой мечты», — сказал Питер Коойманс из Утрехтского университета.
В 1970 году русский математик Юрий Матясевич разрушил эту мечту, как и Гёдель. Он доказал, что не существует общего алгоритма для определения того, имеет ли заданное диофантово уравнение целочисленные решения — 10-я проблема Гильберта неразрешима. Можно придумать алгоритм, который оценит большинство уравнений, но он не будет работать для каждого уравнения.
Математик Юрий Матьязевич доказал, что десятая проблема Гильберта неразрешима. Фото 1969 года.
Даже в самых простых формах математики есть вещи, которые неизвестны.
Математики хотели проверить пределы вывода Матьячевича. Представьте себе, что диофантовы уравнения могут иметь комплексные решения (числа, которые можно записать с действительными и мнимыми частями и которые не ограничиваются целыми числами). В этом случае каждое диофантово уравнение имеет решение, и ответ на 10-ю проблему Гильберта, очевидно, положительный. Однако решения диофантовых уравнений должны быть целыми числами, в то время как решения диофантовых уравнений могут быть комплексными числами, и между решениями этих двух типов уравнений существует большая разница.
«Для целых чисел проблема неразрешима, а когда вы переходите к более сложным числовым системам, вы внезапно получаете разрешимость», — сказал Барри Мазур из Гарвардского университета. Он добавил: «Но где проходит граница между неразрешимостью и внезапной разрешимостью?"
Математики искали эту границу в течение 50 лет с тех пор, как Матиасевич решил Десятую проблему Гильберта. Теперь Койманс и его давний коллега Карло Пагано из Университета Конкордия в Монреале, а также еще одна группа исследователей, работающих независимо, сделали важный шаг на пути к достижению этой цели. Обе исследовательские группы показали, что для большого числа очень важных условий, выходящих за рамки целых чисел, также не существует общего алгоритма для определения того, имеет ли решение любое заданное диофантово уравнение. Эта работа не только дала математикам более точное понимание того, что они могут знать, а что нет, но и предоставила им совершенно новый уровень контроля над одним из важнейших объектов математики.
Расширение от целых чисел
Новые результаты помогают расширить десятую проблему Гильберта. Это расширение включает в себя диофантовы уравнения, решения которых принадлежат близким родственникам целых чисел.
Если начать с чисел 1 и -1, то можно комбинировать их разными способами, чтобы получить все остальные целые числа. Но представьте, что вы начали с другого набора конечных чисел, скажем, 1, -1 и √2. Вы можете комбинировать эти числа различными способами, чтобы получить новую числовую систему, называемую кольцом целых чисел (она использует это название, хотя кольцо содержит не только целые числа). Другие целочисленные кольца могут быть построены из наборов чисел, которые включают, например, квадратный корень из -1 (мнимая единица) или кубический корень из 2. Существует ли алгоритм, который может последовательно определить, имеет ли заданное диофантово уравнение решение, принадлежащее одному из этих колец целых чисел?
Карло Пагано, Университет Конкордия
Математики подозревают, что эта задача останется неразрешимой для любого кольца целых чисел (то есть бесконечной числовой системы). Это расширяет область вывода за пределы исходной целочисленной области десятой проблемы Гильберта.
Чтобы доказать это, они надеются пойти по тому же пути, который они использовали для решения исходной задачи, — пути, который имеет дело только с целочисленными решениями.
В целом, доказательства неразрешимости (доказательства, которые определяют, существует ли общий алгоритм, который может ответить на заданный вопрос) следуют одному и тому же шаблону: они показывают, что заданная проблема эквивалентна известной неразрешимой проблеме в информатике — проблеме остановки. Проблема остановки относится к вопросу о том, будет ли идеализированное вычислительное устройство (называемое машиной Тьюринга) работать вечно или в конечном итоге остановится при получении входных данных. В настоящее время не существует алгоритма, способного ответить на этот вопрос.
диофантовы уравнения также можно рассматривать как вычислительные устройства. Возьмем уравнение y = x². Имеет бесконечно много целочисленных решений.
Обратите внимание: Учёные разработали революционную технологию для исследования египетских мумий.
Если подставить другие целые числа вместо x и решить уравнение относительно y, то полученное значение будет принадлежать хорошо известному набору целых чисел: полным квадратам. Легко представить себе компьютерную программу (машину Тьюринга), которая выполняет аналогичную задачу: «вычислить последовательность полных квадратов чисел."Другие диофантовы уравнения могут «кодировать» другие типы вычислений.
Чтобы решить исходную проблему Гильберта, математики использовали эту идею. Работа Джулии Робинсон и других, начатая около 1950 года и завершенная Матиасевичем в 1970 году, доказала, что для каждой машины Тьюринга существует соответствующее диофантово уравнение. «Это было совершенно неожиданно», — сказал Гектор Пастен из Католического университета Чили. «Диофантовы уравнения целых чисел достаточны для определения почти всего, что можно себе представить."
Джулия Робинсон сыграла ключевую роль в окончательном доказательстве десятой проблемы Гильберта
Более того, математики организовали эту элегантную связь таким образом, что если машина Тьюринга останавливается при заданном входе, то соответствующее диофантово уравнение имеет целочисленное решение. Если бы машина Тьюринга работала бесконечно долго, то соответствующее диофантово уравнение не имело бы решения. Но это означает, что проблема Гильберта кодирует проблему остановки: можно классифицировать диофантовы уравнения в зависимости от того, имеют ли они целочисленные решения, а машины Тьюринга можно классифицировать в зависимости от того, останавливаются ли они.
Другими словами, десятая проблема Гильберта неразрешима.
Математики надеялись использовать тот же метод, чтобы доказать расширенную версию задачи для кольца целых чисел, но они столкнулись с препятствием.
Препятствие на пути
полезная связь между машинами Тьюринга и диофантовыми уравнениями нарушается, когда уравнения допускают решения, отличные от целых чисел. Например, рассмотрим снова уравнение y = x². Если вы работаете в кольце целых чисел, включающем √2, вы получите новые решения, такие как x = √2, y = 2. Это уравнение больше не соответствует машине Тьюринга, которая вычисляет полные квадраты, и, в более общем смысле, диофантовы уравнения больше не могут кодировать проблему остановки.
Но в 1988 году аспирантка Нью-Йоркского университета Александра Шляпентох начала экспериментировать с решением этой проблемы. К 2000 году она и другие разработали план. Предположим, вы добавляете несколько дополнительных членов в уравнение, например, y = x², и эти члены волшебным образом снова делают x целым числом, даже в другой системе счисления. Затем можно восстановить соответствие с машинами Тьюринга. Можно ли выполнить одну и ту же операцию для всех диофантовых уравнений? Если это так, то это означало бы, что проблема Гильберта могла бы закодировать проблему остановки в новой системе счисления.
В течение многих лет Шляпентох и другие математики изучали, какие члены следует добавлять к диофантовым уравнениям для различных типов колец, что позволило им показать, что проблема Гильберта остается неразрешимой в этих условиях. Затем они свели все оставшиеся кольца целых чисел к одному случаю: кольцу, содержащему мнимое число i. Математики поняли, что условия, которые им необходимо добавить в этом случае, можно определить с помощью специальных уравнений, называемых эллиптическими кривыми.
Просто для красоты и вдохновения
Однако построение эллиптической кривой, которая подходит для всех оставшихся колец, является чрезвычайно сложной и трудной задачей. Но у Коойманса и Пагано — двух экспертов по эллиптическим кривым, которые тесно сотрудничали еще со времен учебы в аспирантуре, — были нужные инструменты для экспериментов.
Бессонные ночи
Койманс размышлял над десятой проблемой Гильберта еще со времен колледжа. Она поддерживала связь с Пагано на протяжении всей своей учебы в аспирантуре и работы с ним. «Я трачу несколько дней в году на размышления об этом, но всегда застреваю. Я пробую разные подходы, но все тщетно», — сказал Койманс.
В 2022 году во время конференции в Банфе, Канада, он и Пагано случайно обсудили эту проблему. Вместе они надеются построить специальные эллиптические кривые, необходимые для решения этой проблемы. Они начали работать над ним после завершения нескольких других проектов.
Питер Коойманс, математик из Утрехтского университета, размышлял над десятой проблемой Гильберта еще со студенческих лет.
Они начали с простого уравнения для эллиптической кривой, которая не удовлетворяла ни одному из требуемых свойств. Они знали, что могут использовать хорошо зарекомендовавшую себя технику, называемую вторичным вращением, на изучение которой они потратили почти десятилетие, чтобы подкорректировать уравнение так, чтобы оно удовлетворяло первому условию. Все, что им нужно было сделать, — это умножить одну из переменных в уравнении на определенное число, и они получили бы новую эллиптическую кривую с бесконечным числом решений.
Однако это решение принесло новые проблемы. У них не было гарантии, что новая кривая удовлетворяет второму свойству — что решения кольца, отличающиеся на мнимое число, сохраняют ту же самую базовую структуру. Математикам необходимо больше контроля над вторичными вращениями.
Они оказались в ловушке. «У меня было плохое предчувствие», — сказал Койманс. «Я начинаю подозревать, что мы что-то упускаем из виду."
Затем, летом 2024 года, при изучении другой проблемы ученые снова применили второй спин. Однажды ночью, работая над этим исследованием, Койманс не мог уснуть, потому что думал о десятой проблеме Гильберта.
Для красоты и вдохновения
Внезапно Койманс почувствовал, что он что-то понял. Это одно из тех странных и замечательных математических совпадений, которые иногда случаются: если числа, используемые во вторичном вращении, являются произведением трех простых чисел, то они будут обладать контролем, необходимым для гарантии второго свойства. Однако, поскольку их эллиптическую кривую приходилось строить очень тщательно и удовлетворять множеству спецификаций, на три простых числа накладывалось множество дополнительных ограничений. Смогут ли Койманс и Пагано найти метод, который будет работать независимо от того, какое кольцо используется?
Через несколько дней Пагано планировал посетить Швейцарский федеральный технологический институт в Цюрихе, где в то время работал Койманс. Всю следующую неделю они сражались на шахматной доске, пытаясь найти простое число, удовлетворяющее всем ограничениям. Наконец, они поняли, что для построения квадратичного вращения им нужно использовать четыре простых числа (вместо трех). Это позволило им применить метод из совершенно другой области математики, называемой аддитивной комбинаторикой, чтобы гарантировать, что каждое кольцо имеет правильную комбинацию простых чисел.
И вот последний элемент: они построили эллиптическую кривую. Она дала им решения, необходимые для добавления членов в диофантовы уравнения, и затем они смогли закодировать машины Тьюринга (и проблему остановки) в этих уравнениях, независимо от используемой системы счисления. Все решено. Десятая проблема Гильберта неразрешима для любого кольца целых чисел.
Менее чем через два месяца после публикации статьи Койманса и Пагано независимая группа из четырех математиков опубликовала новое доказательство того же результата, которое еще раз подтвердило его. Вместо того чтобы искать специальную эллиптическую кривую, они используют другой тип уравнения для выполнения той же задачи.
Обе команды надеются добиться прогресса в решении других задач, используя свои методы, которые дают им беспрецедентный контроль над эллиптическими кривыми и связанными с ними уравнениями. «Объединение двух подходов может дать еще лучшие результаты», — сказал Манджул Бхаргава, математик из Принстонского университета и соавтор второго доказательства.
Между тем поиски того, где заканчивается неразрешимость и начинается разрешимость, не завершены: математики продолжают исследовать десятую проблему Гильберта в новых условиях.
Эндрю Грэнвилл из Монреальского университета считает, что это лишь один из многих вопросов, которые «отражают философское измерение того, что на самом деле происходит в мире."
Любое знание имеет свои пределы. «Это напоминает нам, что есть вещи, которые находятся вне нашей досягаемости», — сказал Глэнвилл. «Неважно, кто ты или что ты."
Мой проект по науке и философии
[Мой] научный ученый Популярная наука Математика Исследования Длинная статья 4Больше интересных статей здесь: Новости науки и техники.
Источник статьи: Новые исследования о пределах математической истины и границах математического знания.
- Новое исследование, проведенное в Университете штата Пенсильвания, ставит под сомнение давно устоявшееся мнение о том, что разумная жизнь редка, и предполагает, что она может быть более вероятной, чем предполагалось ранее
- Недавнее исследование, проведенное учеными из Университетского колледжа Лондона (UCL) и Люблянского университета, показало, что мумифицированные тела Древнего Египта источают характерные ароматы, которые описываются как «древесные», «пряные» и «сладкие»