Резонанс в электрических цепях: напряжения и токов

Резонанс — это фундаментальное физическое явление, при котором амплитуда колебаний в системе резко возрастает, когда частота внешнего воздействия совпадает с собственной (резонансной) частотой системы. Это явление универсально и наблюдается как в механических, так и в электрических системах. В электротехнике резонанс может быть как полезным инструментом, так и источником опасных режимов работы.

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений возникает в цепи переменного тока при последовательном соединении катушки индуктивности и конденсатора, образующих колебательный контур. Для его наступления необходимо выполнение двух ключевых условий:

1. Частота источника питания должна совпадать с собственной частотой колебаний контура.
2. Индуктивное сопротивление катушки (X_L = ωL) должно быть равно ёмкостному сопротивлению конденсатора (X_C = 1/(ωC)).

При выполнении этих условий реактивные сопротивления компенсируют друг друга (X = X_L - X_C = 0), и полное сопротивление цепи (Z) становится равным её активному сопротивлению (R): Z = √(R² + X²) = R.

Если активное сопротивление цепи мало, то её полное сопротивление также минимально. Согласно закону Ома (I = U / Z), это приводит к резкому увеличению силы тока в цепи. Поскольку напряжения на реактивных элементах рассчитываются как U_L = I * X_L и U_C = I * X_C, они могут в десятки и сотни раз превышать напряжение источника. Именно это явление и называется резонансом напряжений, которое при недостаточной изоляции может привести к пробоям и авариям.

Резонансная частота (ω_р), на которой это происходит, определяется параметрами элементов контура. Из равенства X_L = X_C следует формула Томсона: ω_р = 1 / √(LC) или для циклической частоты ω_р² = 1 / (LC).

Применение: Резонанс напряжений широко используется в радиотехнике для настройки приёмных устройств. Контур антенны, состоящий из катушки и конденсатора переменной ёмкости, настраивается на частоту нужной радиостанции. При совпадении частот возникает резонанс, сигнал многократно усиливается, в то время как сигналы других частот остаются слабыми.

Обратите внимание: Был обнаружен галактический ветер из истоков Вселенной.

Резонанс токов

Резонанс токов наблюдается в цепи переменного тока при параллельном соединении катушки индуктивности и конденсатора. Условия его возникновения аналогичны, но формулируются через проводимости:

1. Частота источника питания совпадает с резонансной частотой цепи.
2. Индуктивная проводимость катушки (B_L = 1/X_L) равна ёмкостной проводимости конденсатора (B_C = 1/X_C).

При резонансе токов реактивная проводимость цепи обнуляется (B = B_L - B_C = 0), и полная проводимость (Y) становится равной активной (G): Y = √(G² + B²) = G.

В этом режиме токи в ветвях с катушкой и конденсатором, изменяющиеся в противофазе, могут достигать значительных величин, замыкаясь между собой внутри параллельного контура. При этом ток в неразветвлённой части цепи (от источника) может быть относительно небольшим. Это состояние называют резонансом токов или антирезонансом.

Интересно, что резонансная частота для параллельного контура (при малом активном сопротивлении катушки) также определяется формулой Томсона: ω_р = 1 / √(LC).

Применение: В отличие от резонанса напряжений, резонанс токов менее опасен в бытовых условиях, но не менее полезен. Он применяется в радиотехнических фильтрах для подавления сигналов определённой частоты, а также в промышленных электросетях для компенсации реактивной мощности и повышения коэффициента мощности (cos φ), что снижает потери энергии.

Примеры расчётов

Задача 1. Резонанс напряжений в последовательном контуре.

Дано: Последовательная цепь с параметрами R = 50 Ом, L = 350 мГн, С = 40 мкФ подключена к источнику U = 250 В. Найти резонансную частоту, сопротивления, ток и напряжения на элементах в режиме резонанса.

Решение:
1. Резонансная циклическая частота: ω_р = 1/√(LC) = 1/√(0.35 Гн * 40e-6 Ф) ≈ 267 рад/с.
Частота в герцах: ν = ω_р / 2π ≈ 267 / 6.28 ≈ 42 Гц.
2. При резонансе: X_L = X_C = ω_рL = 267 * 0.35 ≈ 93.45 Ом.
3. Полное сопротивление: Z = R = 50 Ом.
4. Ток в цепи: I = U / Z = 250 В / 50 Ом = 5 А.
5. Напряжения на реактивных элементах: U_L = U_C = I * X_L = 5 А * 93.45 Ом ≈ 467.25 В (что почти вдвое выше напряжения источника).

Задача 2. Резонанс токов в параллельном контуре.

Дано: К сети 110 В, 120 Гц параллельно подключены катушка (R = 5 Ом, L = 0.02 Гн) и конденсатор. В цепи резонанс. Найти ёмкость конденсатора и ток от источника.

Решение:
1. Из условия резонанса (B_L = B_C): 1/(ωL) = ωC.
Отсюда C = 1/(ω²L) = 1/( (2π * 120 Гц)² * 0.02 Гн ) ≈ 8.8e-5 Ф = 88 мкФ.
2. Для нахождения общего тока сначала рассчитаем проводимость катушки. Её полное сопротивление: Z_L = √(R² + X_L²), где X_L = ωL = 2π*120*0.02 ≈ 15 Ом.
Активная проводимость катушки: G = R / (R² + X_L²) = 5 / (25 + 225) = 0.02 См.
3. При резонансе полная проводимость цепи Y = G. Ток от источника: I = U * Y = 110 В * 0.02 См = 2.2 А.

Больше интересных статей здесь: Новости науки и техники.

Источник статьи: Резонанс токов и напряжения.