Еще древние ученые , комбинируя натуральные числа, составляли из них ряды, придавая элементам из этих рядов то или иное геометрическое истолкование. Так уже в V - IV веках до н.э возникли представления о фигурных числах.
При этом распространенное определение фигурных чисел "Фигурные числа — это числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур" нам мало о чем скажет.
ПОЭТОМУ, чтобы быстро понять, что такое фигурные числа мы рассмотрим ряд в котором числа, в котором разница между каждым последующим и предыдущим членами равна одному и тому же натуральному числу.
Другими словами, ряд чисел, возрастающих в арифметической прогрессии.
Например:
1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . (разность d = 1)
1, 3, 5, 7, 9, 11, . . . (разность d = 2)
1, 4, 7, 10, 13, 16, . . . (разность d = 3)
или в общем виде 1, 1 + d, 1 + 2d, 1 + 3d, . . .
Элементы каждого подобного ряда называются линейными фигурными числами или фигурными числами первого порядка.
Затем из рядов с линейными фигурными числами образуем последовательные суммы этих чисел:
Первую сумму образуем из одного первого элемента ряда линейных фигурных чисел.
Вторую сумму образуем складывая первые два элемента того же ряда.
Третью сумму - складывая первые три элемента и т. д.
n-ю сумму образуем складывая первые n элементов.
Так, первый ряд линейных фигурных чисел 1, 2, 3, 4, 5, . . .
производит следующий ряд сумм: 1, 3, 6, 10, 15, . . .
Эти числа называются треугольными.
Второй ряд линейных фигурных чисел 1, 3, 5, 7, 9, . . .
производит такой ряд сумм: 1, 4, 9, 16, 25, . . .
Эти числа называются квадратными.
Третий ряд линейных фигурных чисел 1, 4, 7, 10, 13, . . .
даёт нам ряд сумм 1, 5, 12, 22, 35, . . .
Такие числа называются пятиугольными.
Аналогично можно образовать шестиугольные, семиугольные и т.д.
Все эти многоугольные числа называются плоскими фигурными числами или фигурными числами второго порядка.
Вот теперь мы можем дать наглядное истолкование многоугольных чисел.
Рассмотрим равносторонний треугольник, квадрат, пятиугольник и т.д. со сторонами, равными 1.
Отправляясь в каждой фигуре от одной из вершин, удлиним все стороны в 2, 3, 4, . . .
Обратите внимание: Роль научно-технического прогресса в нашей жизни.
раз, другими словами, построим многоугольники, перспективно-подобные данным.На сторонах получившихся фигур на расстояниях, равным 1, и во всех вершинах разместим точки.
Подсчет точек, расположенных в каждом треугольнике, дает нам ряд треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15, . . .
Подсчет точек, расположенных в каждом квадрате, дает нам ряд квадратных чисел 1, 4, 9, 16, 25, . . .
Аналогично, подсчет точек в каждом пятиугольнике, шестиугольнике и т.д, дают нам ряды пятиугольных, шестиугольных и т.д. чисел.
Понятное определение фигурных чисел дал древнегреческий математик и астроном Гипсикл Александрийский:
Если взять сколько-нибудь чисел, начиная с единицы, имеющих одинаковые разности, то сумма их, если разность единица, будет треугольником, если же двойка, то четырёхугольником, а если тройка — пятиугольником. Количество углов определяется разностью, увеличенной на двойку, а сторона — количеством взятых чисел, считая и единицу.
А теперь пара примеров того, где мы можем встретить фигурные числа в обычной жизни.
Спасибо за то, что дочитали до конца. Пожалуйста, подписывайтесь на канал, чтобы не пропустить новые статьи.
Больше интересных статей здесь: Новости науки и техники.
Источник статьи: Треугольные, квадратные и пятиугольные числа, и где они встречаются в жизни.